天安からアンニョン

日々の思いや韓流情報などをエッセイ風に書きます。韓国からの発信です。

二つの素数の幅に関して  素数って不思議でしゅ(4) _

ひさしぶりに数学の話題で。

2014年3月4日のブログに
「世紀の発見!」という記事で素数についてのことを書いた。
内容は、

連続する二つの素数の幅が600以下になるような場合は無数にある

という内容。2と3、3と5、11と13、19と23のように連続する2つの素数をとりあげると、
その差は1,2,2,4となっているわけだが、
数がいくら大きくなっても、その幅は600以下になる場合が無数にある、ということ。

たとえば
1から100まで間に素数は25個あるけど、
10万1から10万100までの間に素数は6個しかない(そうな)。
数が大きくなっていけば次の素数が現れる幅がだんだん大きくなっていくのか?

この疑問に対する答えが、上のこと、「600ぐらい幅をとるとだいたい素数が2つ現れるよ」というもの。
これの証明が2014年2月ごろになされ(ジェームズ・メイナード博士とテレンス・タオ博士によるもの)、

さらに幅の600を246まで縮めたのが2014年9月の時点だという(ジェームズ・メイナード博士によるもの)。


で、この問題の源流みたいなものを探ってみると、
中国系の張益唐(Yitang "Tom" Zhang)という数学者が浮かんでくる。彼は2013年4月17日に

素数と次の素数の間隔が7000万未満の素数のペアが無限個あるということを示した。

これが二つの素数の幅に関してはじめて有限値を与えた論文だった。
7000万なんていうととてつもなく大きい数だけど、
それでも無限ではなくて有限の値でもって素数の幅をおさえたということ自体がすごいことのようだ。

このことがあってから、2014年2月26日の新聞に載ったのが、
二つの素数の幅を600にまで縮めた論文だった。7000万から一挙に600へと。
もちろん7000万という数より600という数でおさえたということはすごいことだ。
が、無限から7000万へと有限値におさえた功績の方がその価値は1000倍も大きいものと思われる。

さらにこの600を246までちぢめたのが2014年9月だったわけ。(ジェームズ・メイナード博士)。

これをさらにすすめて
二つの素数の幅が2になるような素数のペア(双子素数)が無数に存在する、ということが言えれば、
「双子素数の予想」が証明されたことになるわけだ。

しかし現段階では、素数の幅が246未満のペアは無数に存在する、ということらしい。

そしてこの「双子素数の予想」の証明は、フェルマーの最終定理の証明などよりもずっと難であるらしい。
数学愛好者としては、そんなに難しい問題があるのかと思えるのだが、そうであるらしい。

1995年のあのイギリスの数学者ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明の発表はセンセーショナルであった。
が、それよりもはるかに難しいのがこの「双子素数の予想」の証明らしい。
246からさらにどこまで進められるのか、
その進展が待ち遠しい。わくわく、ほくほく。

整理してみると、
2013年4月 無限から7000万へ(中国の張益唐博士)。
2014年2月 7000万から600へ(ジェームズ・メイナード博士とテレンス・タオ博士)。
2014年9月 600から246へ  (ジェームズ・メイナード博士)。
この後、246からどうなっていくのか。素人数学愛好家にとっては興味のつきない分野だ。


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国際数学者会議

国際数学者会議というのをご存じだろうか。
4年に1回オリンピックみたいに開かれている世界の数学者たちの大会だ。
今年2014年は、韓国のソウルで8月13日から21日までの9日間開かれる。
ノーベル賞に「数学賞」のないことがよく話題になる。
アルフレッド・ノーベルが彼の片想いの女性に振られてしまったが、
この女性が数学者だったという説とか、いろいろの説があるみたいだ。
真偽のほどはわからないものの、一つ言えることは科学の中で王様とも言える数学賞がないのは、
ほとんど(わたしには)信じられない出来事ということ。
人間社会にすぐに応用ができて社会貢献がすぐ可能な応用科学にだけノーベル賞というのが与えられているのかもしれないが、その基礎の中の基礎である数学に賞がないのは、なんとも不思議でならない。
賞がなくても、しかし数学は、一人孤高の姿ではるかに続く道をとぼとぼと歩いていくのであろう。

下の引用記事にもあるが、フィールズ賞という賞がこの大会にて与えられる。
このフィールズ賞というのは、40歳以下の数学者に授与される数学分野最高の賞。
国際数学者会議の開会式で、開催国の国家元首が直接授与するのが慣例となっている。
世の中でフィールズ賞などといっても通じないのかもしれない。数学には普通あまり関心がないですから。

でも、この賞は、考えてみるとすごい賞なのだ。
ノーベル賞は毎年ある。でもこの賞は4年に1回だけ。
しかも40歳以下の人だけが対象となっている。40を越したら資格がなくなってしまうわけだ。
40歳になるまで大きな業績をあげてしまう必要があるけど、それって、ものすごく困難なことだ。

日本はこれまでフィールズ賞受賞者が3人いる。しかし1990年の森重文以来22年、フィールズ賞からは遠ざかっている。ちなみに韓国は、まだゼロだ。今年2014年はソウルで開かれるので、もしかすると1人はでるのかもしれない。2008年頃から、非常に有望な学者がいるという報道がなされていたが、いまだに賞をもらったという報はないから、この有望な学者(イ・スンホ氏)がもしかすると今年サプライズするのかもしれない。日本の3人は、小平邦彦(1954年)、広中平祐(1970年)、森重文(1990年)である。日本は国籍別順位では5位である。東洋系の受賞者は上記の3名以外に、丘成桐(中国系米国人1982年)、陶哲軒(中国系オーストラリア人2006年)、ゴ・バオ・チャウ(ベトナム人2010年)の3人がいる。

♦ここから引用♦
ASIA NEWSより(
http://asianews.seesaa.net/article/393774530.html

世界100カ国以上から5,000人余りの数学者が参加する国際数学者会議 (International Congress of Mathematicians、以下「ICM」)が、2014年8月13日から21日までの9日間にわたり、韓国ソウルで開催される。「数学のオリンピック」と称されて115年もの伝統を受け継ぐICM は、4年に一度開催される、数学分野において最も重要な学術的会合であり、数学のノーベル賞とも呼ばれるフィールズ賞 (Fields Medal) が開催国の国家元首から直接授与されるという伝統を持ち、各メディアや一般社会の注目が集まる。フィールズ賞の受賞講演をはじめ、アーベル特別講演 (Abel Lecture) や国際碩学招請文化講演など様々な講演会や討論会が開かれる。韓国の数学者は、2014年のソウルICMをきっかけに、隣国である日本の数学者との交流が益々活発に行われる事を期待している。

♦ここまで引用♦


2014国際数学者会議組織委員長 朴炯柱(バク・ヒョンジュ) ポハン工大敎授の
日本の数学学会にむけてのお知らせ↓
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1704/kaiho174-ICM2014.pdf


世界最古の十進法の計算表、中国で発見

中国で世界最古の十進法の計算表が発見されたというニュースです。(今年4月)
理系の名門中国・清華大学の研究チームが謎の竹簡を薄紙を剥がすように
丁寧に丁寧に解読していった結果、2300年前の十進法の計算表が現われたということです。
大きな発見のようです。
十進法とか位取り記数法といったものは、「ゼロ」の発見がなくては不可能だと思いますが、
インドでのゼロの発見と、この中国の世界最古の計算表の存在と、時間関係はどうなっているのか? 
このあたりの詳しい内容は筆者にはわかりません。
が、世界最古の十進法のマトリクス(計算表)が中国で見つかったということで、
ブログにアップしてみました。
ちなみに、ウィキによると
「最近になって、アフリカのスワジランドで35000年前に0に関する算術が取り入れられていたことがわかった。」
という記述が見えます。3万5千年前!?。
人類はいつから今の形になり、今の知恵を持ちはじめたのだろうか。
「35000年前」の記述に度肝を抜かれた思いだ。

♦ここから引用♦

中国・清華大学に、
卒業生から香港の美術市場で購入したという竹簡(文字の書かれた竹の札)が寄贈された。
2008年のこと。ところでその竹簡、謎と混乱に満ちていた。

竹札の順番はばらばらで、一部破損もみられ、悪臭を放ち、泥とカビに覆われていた。
墓からの盗掘品であることは確かだったが、それじゃ一体その竹簡は何なのか? 
謎だらけだったのである。

清華大学で学際的な研究チームを集結し竹簡の調査を開始。
湿度と温度を調整した部屋に2500枚の竹札を並べ、乾燥させ、汚れを除去するという
根気のいる作業を3カ月かけて行った。
中心は、アメリカ、ニューハンプシャー州ハノーバーにあるダートマス大学の古文書学教授で、
竹簡の研究に最初期から参加したウェン・シン(Wen Xing)氏。

放射性炭素年代測定を行った結果、竹簡は紀元前310年ごろのものであることがわかった。
その後4年間をかけて、シン氏らのチームは竹札の1枚1枚を解読し、
内容と書体によって分類した。

その結果60種類以上の異なる文書が発見された。
「ほとんどは歴史に関する文書だ」とシン氏は述べる。
「(儒教の経典である)『五経』の1つ、『書経』の一部などだ。
そのほか戦に関する文書もあり、
こちらはすべて古代の王国、楚で用いられていた美しい書体で書かれている」。

ところでその中の21枚の竹札は、他と異なっていた。数字ばかりが書かれていたのだ。
清華大学の数学史学者、馮立昇(Feng Lisheng)氏が正しく並べなおしたところ、
十進法による掛け算のマトリクス(行列)が出来上がった。

これは、世界最古の十進法の計算表だったのだ。
例えば8に7をかける場合、上端の行の8と、右端の列の7を見る。
8の下に並ぶ数字をたどり、7の左に並ぶ数字と交わるところを探せば、
そこに答えの56が書いてあるという仕組み。

小数の計算などもでき、
ニューヨーク市立大学大学院センターの歴史学ディスティングイッシュトプロフェッサーである
ジョセフ・ドーベン(Joseph Dauben)氏は
「この計算表はすこぶる使いやすい」と述べる。

この計算表がなぜすごいかというと、それまでのものは、
「『9かける9は81』、『9かける8は72』などと、
掛け算の結果を文章で書き連ねているにすぎない。

今回の計算表が他と異なるのは、マトリクス構造になっているところと、
どんな掛け算も、そして割り算も、さらにはやろうと思えば平方根の計算までも、
表を参照するだけで簡単にできてしまうところだ」と、ドーベン氏は述べる。

マトリクス構造というのは、行と列の形式になっているということ。
表になっているため、行と列を眺めるだけでいろいろの計算が瞬時にできてしまうわけだ。
文章で書いてあるものは、その文章以外のものは存在しない。

今回の計算表が作られたのは、中国の戦国時代であり、
秦の始皇帝が中国を統一する1世紀前のことだと、上記シン氏は述べる。

統一後、始皇帝が最初に行ったのは、
自身の権威を脅かすと考えた孔子や他の哲学者の思想を消し去ろうとすることだった。
始皇帝は学者を処刑し、文書を書き換え、書物を燃やし、個人の蔵書を禁じた(焚書坑儒)。

清華大学の竹簡は、おそらく墓に埋められていたために難を逃れたもようだ。
「彼らは数字を文字で表し、計算を行っていた。

また、数学史における重要な発展の1つ、位取り記数法(十進法などの数の表し方)の
確立にも寄与している。「これはその物的証拠だ」とシン氏は述べる。

参考サイト:ナショナルジオグラフィック ニュース
http://eco.goo.ne.jp/news/nationalgeographic/detail.html?20140409003-ng 


♦ここまで引用♦



調和級数(2) _ 数学の話題006

4月 27日に書いた内容の続きです。
分数だけの単純な式なので、しばしお付き合い願います^^。


1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + … =  ???  (a)

ということで、

「調和級数」( a ) の結果がどうなるのか。

1にすこしずつでも小さな数を足していくのだから、
いつかは無限大になるだろうことは予想されます。

でもそのことをどうやって証明すればいいでしょうか。
力尽くでやっては無理ですが、ものすごいエレガントな証明があります。
皆様も楽しんでください。



証明
はじめの二つの部分、1 + 1/2 はそのままにしておいて。
次の二つの部分、つまり 1/3 + 1/4 を考えます。

これは 1/4 + 1/4 よりも大きいです。(1/3と 1/4を比べると1/3のほうが大きいことはわかる。)

式で書くと、
 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
となり、 1/3 + 1/4 の部分は 1/2 よりも大きいということがわかります。

次にその後の4つの部分、 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 を考えます。
最後が 1/8 なので 1/8 を中心に考えます。
1/5 は 1/8 より大です。 1/6 も 1/8 より大です。1/7 も 1/8 より大です。したがって
 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 >  1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 です。
で、 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 =4/8 = 1/2
となり、 

 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8  の部分も 1/2 よりも大きいということがわかります。 

次にその後の8つの部分、
 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 を考えます。

同様にして
1/9 は 1/16 より大です。
1/10 も 1/16 より大です。1/11も、 1/12も、 1/13も、 1/14も、 1/15も、全て
1/16 より大です。つまり
 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 は
 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 より大です。
 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 8/16 = 1/2
ですから、
 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 の部分も 1/2 よりも
大きいということがわかります。

以下同様にして、
次の16個、32個、64個、128個、、、つまり2倍、2倍、、、と区分けしていくことができ、
その区分けの部分が全て 1/2 よりも大と示せます。

つまり、いつまでいっても 1/2 より大のものが加算されていきますので、
はじめの式 ( a )

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 +  … 

の結果は、無限大ということになります。

これで
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 +  …  =  ∞

ということが示せました。

( a )の式、つまり

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 +  …

「調和級数」は無限大になる、つまり「調和級数」は発散する、ということですね。

いやあ、おもしろいですよね。

上の証明は、ニコル・オレーム (1323年ごろ-1382年) によって証明が得られているそうです。

皆様はいかがですか。あんまりおもしろくないですか?

見ただけでは無限大になるのか、何かに収束するのかわからないのですが、
上のような手順で考えれば、無限大になるということがはっきりと示せるわけです。
これが、おもしろくないわけがないとわたしは考えまして、わたし、
子どもに話し、妻にも話しました。

でも、反応はゼロでした。おもしろくないんですね。どうでもいいことなんですね。

もちろん、明日のパンのためにはなりません。
なんにもなりません。
でも、わたしはおもしろいです。不思議すぎておもしろいんです。

共感してくださる方が現われることを願ってやみません^^。



調和級数(1) _ 数学の話題005

きょうは、小学生でもわかる分数について、書きます。
下の式を見てください。非常に規則的に並んだ分数の足し算です。

その分数とは、

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 +…= ???  (a)
(1/2 は 2分の1のことです。その他も同様)

ということで、

1足す、2分の1足す、3分の1足す、4分の1足す、5分の1足す、、、、

と永遠に続く分数を足していったら、全体の和はどうなるでしょうか、というものです。
どうでしょうか。
だいたい勘のようなものが働きますか。

はじめは「1」。これに「2分の1」を足す。すると1.5になりますね。
さらに「3分の1」を足す。すると3分の1はだいたい0.3333ですから、1.833333,,,,,
となります。

これに「4分の1」を足す。これは0.25ですから 1.833333,+0.25=2.08333,,,,
となります。こういう作業をずうっとずうっと続けていくわけですね。
分数そのものはだんだん小さくなります。
しかし個数は1000個、1万個、100万個、1億個、1兆個、、、と
だんだん増えていきますね。
分数そのものはだんだんゼロに近づいていくけど、個数は無限に増えていく。
1 そして 1.5 そして 1.83333 そして 2.083333  そして 2.283333 (1/5まで足したもの)

これをずうっと計算していくことは不可能です。
何かいい方法で、この値が何かの数値になるのか、無限大に発散してしまうのか、
知りたいところです。
うまい方法はあるでしょうか。

きょうは問題提起だけにしておきます。(すいません。時間がなくて)ここまでアップ。

ちなみに、上の (a)の式、つまり

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 、、、

と永遠にこのスタイルで足していく式を、数学者は「調和級数」と名付けました。
美しい数式ですよね。形が整っていて。

ちなみに、この式を1万個ほど足し算しても「9」ぐらいにしかならないそうです。
つまり1/10000 まで ずうっと足していっても「9」くらいにしかならないわけです。
ものすごくゆっくりゆっくり増加していくんですね。
暇な方は一度挑戦してみてください^^
                                                                        (素数に憑かれた人たち』より。)

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プロフィール

treenamu

Author:treenamu
韓国在住の日本人で、山歩きやサッカー、リフティングなどが好きです。小説・随筆なども書いてます。鴨長明、ヘッセ、バルザック、モーム、チャンドラーなどが好きです。スローライフがモットーです。

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